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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu219303
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIMES
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Considere dois sólidos, um deles na forma de um prisma reto de base retangular, com 25 cm de altura e com a menor aresta da base medindo 6 cm, e o outro sólido na forma de um cubo, em que as arestas têm a mesma medida da maior aresta da base do prisma, conforme mostra a figura.   Sabendo que o volume do prisma é 50% maior do que o volume do cubo, a soma das medidas das arestas da base do prisma éImagem associada para resolução da questão
  1. A36 cm.
  2. B16 cm.
  3. C48 cm.
  4. D32 cm.
  5. E60 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 32 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 32 cm — alternativa D.

A ideia por trás

O volume de um sólido mede quanto espaço ele ocupa. Para um prisma, o volume é a área da base multiplicada pela altura; para um cubo, é a aresta elevada ao cubo. A base do prisma é um retângulo, então sua área é o produto dos dois lados diferentes.

A relação central é V_prisma = 1,5 × V_cubo, pois o prisma tem 50% a mais de volume. Isso liga a aresta desconhecida do cubo (que é a maior aresta da base do prisma) à altura e à menor aresta do prisma. Quanto maior a aresta do cubo, maior o volume do cubo, mas o volume do prisma cresce linearmente com essa aresta, então há um único valor que satisfaz a igualdade.

Esta questão pede para usar a relação de volumes para descobrir a maior aresta da base do prisma e, depois, calcular o perímetro da base retangular. O passo crítico é montar a equação de volumes e resolvê-la.

O que a questão dá

  • altura do prisma = 25 cm

  • menor aresta da base do prisma = 6 cm

  • aresta do cubo = maior aresta da base do prisma

  • volume do prisma = 50% maior que o volume do cubo

O que queremos: a soma das medidas das arestas da base do prisma

Passo 1 — Chamar a maior aresta da base de x

Precisamos de um nome para a medida desconhecida que aparece tanto na base do prisma quanto no cubo. Chamá-la de x permite escrever as fórmulas de volume em função dela.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a aresta do cubo é igual à maior aresta da base do prisma, e usar outra letra.

Passo 2 — Escrever o volume do prisma

O volume do prisma é a área da base vezes a altura. A base é um retângulo de lados 6 cm e x, então a área é 6x. Multiplicando pela altura 25 cm, obtemos o volume em função de x.

Por que esta fórmula: A fórmula do volume de um prisma é V = área da base × altura. Como a base é retangular, a área é o produto dos lados.

Vprisma=6⋅x⋅25V_{prisma} = 6 \cdot x \cdot 25

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: menor aresta da base = 6 cm · xx = passo 1: maior aresta da base · 2525 = enunciado: altura do prisma = 25 cm

Vprisma=6⋅x⋅25V_{prisma} = 6 \cdot x \cdot 25
Vprisma=150x cm3V_{prisma} = \boxed{150x \text{ cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura como se fosse uma aresta da base, ou esquecer de multiplicar pela altura.

Passo 3 — Escrever o volume do cubo

O cubo tem todas as arestas iguais a x, então seu volume é x³. Precisamos dessa expressão para montar a relação entre os volumes.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é a aresta elevada ao cubo, pois é um paralelepípedo com todas as dimensões iguais.

Vcubo=x3V_{cubo} = x^{3}

De onde vem cada valor: xx = passo 1: aresta do cubo

Vcubo=x3V_{cubo} = x^{3}
Vcubo=x3 cm3V_{cubo} = \boxed{x^{3} \text{ cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com a área da face, que seria x².

Passo 4 — Montar a equação de volumes

O enunciado diz que o volume do prisma é 50% maior que o do cubo. Isso significa que o volume do prisma é 1,5 vezes o volume do cubo. Substituímos as expressões dos passos 2 e 3 para obter uma equação em x.

Por que esta fórmula: A relação '50% maior' é traduzida como V_prisma = 1,5 × V_cubo. Essa é a única informação que liga as duas medidas.

150x=1,5⋅x3150x = 1{,}5 \cdot x^{3}

De onde vem cada valor: 150x150x = passo 2: volume do prisma · 1,51{,}5 = enunciado: 50% maior · x3x^{3} = passo 3: volume do cubo

150x=1,5⋅x3150x = 1{,}5 \cdot x^{3}
NÃO CAIA NESSA!

Escrever V_prisma = V_cubo + 0,5, em vez de multiplicar por 1,5.

Passo 5 — Resolver a equação para achar x

Com a equação montada, precisamos isolar x. Como x é positivo (é uma medida), podemos dividir ambos os lados por x para simplificar.

Por que esta fórmula: Dividir por x é válido porque x > 0. Depois, isolamos x² e tiramos a raiz quadrada.

x2=1501,5x^{2} = \frac{150}{1{,}5}

De onde vem cada valor: 150150 = passo 4: coeficiente de x · 1,51{,}5 = passo 4: fator do volume do cubo

x2=1501,5x^{2} = \frac{150}{1{,}5}
x=10 cmx = \boxed{10 \text{ cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 1,5 e achar x² = 150, resultando em x ≈ 12,25.

Passo 6 — Calcular a soma das arestas da base

A base do prisma é um retângulo com lados 6 cm e 10 cm. A soma das arestas da base é o perímetro desse retângulo, que é a soma dos quatro lados.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma dos lados diferentes, pois cada lado aparece duas vezes.

P=2⋅(6+x)P = 2 \cdot (6 + x)

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: menor aresta da base · xx = passo 5: maior aresta da base = 10 cm

P=2⋅(6+10)=32 cmP = 2 \cdot (6 + 10) = \boxed{32\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas 6 + 10 = 16, esquecendo que o retângulo tem dois lados de cada medida.

Resposta: 32 cm — alternativa D

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