Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2025

Potências, raízes e frações: resolvendo a expressão E

Gabarito: letra E — o valor da expressão é $\frac{8}{3}$. A resolução exige aplicar corretamente as propriedades de potências com expoente negativo e zero, raízes e a ordem das operações, simplificando até a fração irredutível.

A ideia por trás

A questão testa o domínio das propriedades de potências e raízes, um conteúdo fundamental da aritmética. Para resolver, precisamos lembrar de três regras essenciais:

1. Potência com expoente negativo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Ou seja, invertemos a base e elevamos ao expoente positivo.

2. Potência com expoente zero: qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1, ou seja, $a^0 = 1$.

3. Raiz quadrada: $\sqrt{a^2} = a$ (para $a \geq 0$), e a raiz de uma fração é a raiz do numerador sobre a raiz do denominador: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Vamos aplicar essas regras passo a passo na expressão:

Numerador:

• $(\sqrt{5})^2 = 5$ (a raiz quadrada e o expoente 2 se cancelam).

• $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 2^2 = 4$ (invertemos a fração e elevamos ao quadrado).

• $8^0 = 1$ (todo número não nulo elevado a zero é 1).

Então, o numerador é: $5 + 3 \cdot 4 - 1 = 5 + 12 - 1 = 16$.

Denominador:

• $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.

• $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Então, o denominador é: $\frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Portanto:

A fração $\frac{8}{3}$ já está na forma irredutível, pois 8 e 3 não têm divisores comuns além de 1.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{2}$ é obtido se o aluno errar o cálculo do numerador, por exemplo, fazendo $3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ (esquecendo de inverter a base) e depois $5 + \frac{3}{4} - 1 = \frac{19}{4}$, e o denominador $\frac{3}{4} \cdot 8 = 6$, resultando em $\frac{19}{24}$, que não é $\frac{1}{2}$. Na verdade, $\frac{1}{2}$ seria o resultado se o numerador fosse 3 e o denominador 6, o que não ocorre. O erro típico é inverter a fração apenas no expoente, mas não elevar ao quadrado, ou errar a ordem das operações.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{5}{6}$ poderia surgir de um erro no denominador, como calcular $(2\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4$ (esquecendo de elevar o 2 ao quadrado) e $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$, resultando em $\frac{3}{4} \cdot 4 = 3$. Com numerador 16, teríamos $\frac{16}{3}$, que não é $\frac{5}{6}$. Outra possibilidade é errar o numerador, obtendo 5, e o denominador 6, mas isso não corresponde a nenhum erro comum. A alternativa é um distrator que não corresponde a um erro específico, mas a um valor aleatório.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{2}$ é obtido se o aluno calcular corretamente o numerador (16) mas errar o denominador, por exemplo, fazendo $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ e $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$, mas depois multiplicar $\frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ e, em vez de dividir 16 por 6, dividir 6 por 16, obtendo $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$, que não é $\frac{3}{2}$. Na verdade, $\frac{3}{2}$ seria o resultado se o numerador fosse 9 e o denominador 6, o que não ocorre. O erro típico é inverter a divisão ou errar o cálculo do numerador.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{5}{3}$ é obtido se o aluno errar o numerador, por exemplo, fazendo $(\sqrt{5})^2 = 5$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, mas $8^0 = 0$ (erro comum), resultando em $5 + 12 - 0 = 17$, e o denominador 6, obtendo $\frac{17}{6}$, que não é $\frac{5}{3}$. Outra possibilidade é errar o denominador, obtendo 10, e o numerador 16, resultando em $\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$, que não é $\frac{5}{3}$. A alternativa é um distrator que não corresponde a um erro específico, mas a um valor aleatório.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor $\frac{8}{3}$ é o resultado correto, como demonstrado no desenvolvimento. O aluno que aplica corretamente as propriedades de potências e raízes chega a esse valor. A fração $\frac{8}{3}$ é irredutível, pois 8 e 3 são primos entre si.

Gabarito: letra E