Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2025

Trigonometria no triângulo retângulo

Gabarito: letra E — a tangente de β vale $\frac{4}{3}$. Como α e β são ângulos complementares (somam 90°), o seno de α é igual ao cosseno de β, e a tangente de β é o inverso da tangente de α. Com $\text{sen }\alpha = \frac{3}{5}$, obtemos $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ pela relação fundamental, logo $\text{tg }\alpha = \frac{3}{4}$ e, portanto, $\text{tg }\beta = \frac{4}{3}$.

A trigonometria no triângulo retângulo estuda as relações entre os lados e os ângulos agudos de um triângulo que possui um ângulo reto (90°). As três razões principais são:

• Seno de um ângulo = cateto oposto ÷ hipotenusa

• Cosseno de um ângulo = cateto adjacente ÷ hipotenusa

• Tangente de um ângulo = cateto oposto ÷ cateto adjacente

No triângulo ABC, retângulo em C, os ângulos agudos são α (no vértice A) e β (no vértice B). Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, e o ângulo C mede 90°, temos que α + β = 90°. Ângulos que somam 90° são chamados de complementares, e para eles valem relações importantes:

• $\text{sen }\alpha = \cos \beta$

• $\cos \alpha = \text{sen }\beta$

• $\text{tg }\alpha = \text{cotg }\beta$

A relação fundamental da trigonometria afirma que, para qualquer ângulo, $\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$. Essa relação permite encontrar o cosseno de um ângulo quando conhecemos o seu seno (ou vice-versa).

Vamos aplicar isso ao problema. Sabemos que $\text{sen }\alpha = \frac{3}{5}$. Usando a relação fundamental:

(O cosseno é positivo porque α é um ângulo agudo.)

Agora, a tangente de α é:

Como α e β são complementares, $\text{tg }\beta = \text{cotg }\alpha = \frac{1}{\text{tg }\alpha}$. Portanto:

Outra forma de enxergar: como $\text{sen }\alpha = \cos \beta = \frac{3}{5}$ e $\cos \alpha = \text{sen }\beta = \frac{4}{5}$, então $\text{tg }\beta = \frac{\text{sen }\beta}{\cos \beta} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$.

A medida da hipotenusa (AB = 15 m) não é necessária para o cálculo da tangente, pois a tangente é uma razão entre os catetos, e essa razão fica determinada pelo ângulo. Ela seria útil se quiséssemos calcular os comprimentos dos catetos, mas não é o caso.

A pegadinha desta questão está em inverter a relação entre os ângulos complementares. O candidato pode calcular corretamente $\text{tg }\alpha = \frac{3}{4}$ e marcar a alternativa C, esquecendo que o problema pede $\text{tg }\beta$, que é o inverso. Outro erro comum é confundir seno com cosseno ao aplicar a relação de complementaridade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{5}$ é o seno de α (e o cosseno de β), não a tangente de β. A banca coloca esse valor para testar se o candidato confunde as razões trigonométricas entre si.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{3}$ não corresponde a nenhuma razão trigonométrica direta dos ângulos do triângulo. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como subtrair os expoentes da fração $\frac{3}{5}$ de forma incorreta, mas não tem fundamento geométrico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{4}$ é a tangente de α, não de β. Como α e β são complementares, a tangente de um é o inverso da tangente do outro. Quem calcula $\text{tg }\alpha$ e para por aí cai nesta armadilha.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{5}{4}$ é o inverso do cosseno de α (ou seja, a secante de α), não a tangente de β. Também poderia ser obtido invertendo erroneamente a fração $\frac{4}{5}$ sem considerar a relação correta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\text{tg }\beta = \frac{4}{3}$. Esse valor é o inverso da tangente de α, que é $\frac{3}{4}$, e corresponde à razão entre o cateto oposto a β e o cateto adjacente a β no triângulo retângulo.

Gabarito: letra E