Semelhança de triângulos na escada de Carlos
Gabarito: letra A — as hastes medem 1,35 m e 2,10 m, respectivamente. A resolução usa a semelhança entre o triângulo retângulo maior (ABC, com catetos 3 m e 4 m e hipotenusa 5 m) e os triângulos menores formados pelas hastes perpendiculares ao chão, que são semelhantes ao triângulo original por compartilharem os mesmos ângulos.
A ideia por trás
A semelhança de triângulos é uma ferramenta que relaciona triângulos com a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos internos correspondentes iguais (ou, equivalentemente, quando seus lados correspondentes são proporcionais). Nesta questão, as hastes verticais (x e y) são perpendiculares ao chão, e a rampa da escada é a hipotenusa AC. Isso cria triângulos retângulos menores que compartilham o ângulo agudo no vértice A (para a haste x) e no vértice B (para a haste y), tornando-os semelhantes ao triângulo ABC.
O triângulo ABC é retângulo em B, com catetos AB = 4 m e BC = 3 m, e hipotenusa AC = 5 m. Esse é um triângulo retângulo clássico 3-4-5, onde os lados estão na proporção 3:4:5. Essa proporção é a chave para resolver o problema: qualquer triângulo semelhante a ele terá lados nessa mesma razão.
Calculando a haste x
A haste x toca a rampa no ponto D, que está a 1,8 m do ponto A. O triângulo formado pela haste x, o chão (segmento AD) e a rampa (segmento AD da hipotenusa) é semelhante ao triângulo ABC. A correspondência de lados é:
AD (chão) corresponde a AB (cateto de 4 m)
haste x (vertical) corresponde a BC (cateto de 3 m)
rampa (parte da hipotenusa) corresponde a AC (hipotenusa de 5 m)
Usando a proporção entre os catetos correspondentes:
Multiplicando cruzado:
Calculando a haste y
A haste y toca a rampa no ponto E, que está a 1,2 m do ponto B. O triângulo formado pela haste y, o chão (segmento BE) e a rampa (segmento BE da hipotenusa) também é semelhante ao triângulo ABC. A correspondência de lados é:
BE (chão) corresponde a AB (cateto de 4 m)
haste y (vertical) corresponde a BC (cateto de 3 m)
rampa (parte da hipotenusa) corresponde a AC (hipotenusa de 5 m)
Usando a proporção entre os catetos correspondentes:
Multiplicando cruzado:
Esse resultado (0,9 m) não aparece nas alternativas, o que indica que a interpretação da posição do ponto E precisa ser revista. O enunciado diz que o pé E da haste y fica a 1,2 m do ponto B. No entanto, a haste y está mais próxima do ponto B, que é o ponto mais alto da escada. A distância de 1,2 m é medida a partir de B em direção a A, ou seja, o ponto E está a 1,2 m de B sobre o cateto AB. Mas o triângulo formado pela haste y não tem base BE = 1,2 m; ele tem base AE = AB - BE = 4 - 1,2 = 2,8 m. A haste y está mais próxima de B, então sua base no chão é o segmento AE, que mede 2,8 m.
Corrigindo a interpretação, o triângulo formado pela haste y tem base AE = 2,8 m, que corresponde ao cateto AB de 4 m. A proporção fica:
Portanto, as medidas corretas são x = 1,35 m e y = 2,10 m, que correspondem à alternativa A.
A pegadinha da questão
A banca explora a confusão sobre a posição do ponto E. O candidato pode interpretar que a base da haste y é o segmento BE = 1,2 m, obtendo y = 0,9 m, que não está nas alternativas. A interpretação correta é que a base da haste y é o segmento AE = 2,8 m, pois a haste está mais próxima de B, e a distância de 1,2 m é medida a partir de B em direção a A. Essa inversão de referência é a armadilha clássica.
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Apresenta os valores corretos: x = 1,35 m e y = 2,10 m. A haste x é calculada com base AD = 1,8 m, e a haste y com base AE = 2,8 m (AB - BE = 4 - 1,2), ambas usando a proporção 3:4 do triângulo original.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Erra o valor de y (1,85 m). Esse valor não corresponde a nenhuma proporção correta com as bases dadas. Se o candidato usasse BE = 1,2 m, obteria y = 0,9 m; se usasse AE = 2,8 m, obteria y = 2,1 m. O valor 1,85 m não tem fundamento geométrico.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Erra o valor de y (1,58 m). Esse valor também não corresponde a nenhuma proporção correta. Provavelmente o candidato usou uma base intermediária incorreta ou aplicou a proporção de forma equivocada.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Erra o valor de x (1,42 m). O valor correto de x é 1,35 m, obtido pela proporção . O valor 1,42 m sugere um erro de cálculo ou uma proporção mal aplicada.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Erra tanto x (1,42 m) quanto y (1,85 m). Combina os erros das alternativas B e D, indicando que o candidato não identificou corretamente as bases dos triângulos semelhantes.
Gabarito: letra A
