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Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — VUNESP 2025

Raciocínio LógicoSequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
Código
vu222539
Banca
VUNESP
Órgão
CUSC
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Uma sequência é formada por 21 quadriláteros, todos com seus ângulos internos medindo 90º. O primeiro quadrilátero dessa sequência é um retângulo de altura 24 cm e base 14 cm e o último quadrilátero é um quadrado. As medidas das alturas desses quadriláteros formam uma progressão aritmética (PA) decrescente e as medidas das bases desses quadriláteros formam uma PA crescente. Sabendo que o perímetro do 11º quadrilátero dessa sequência é igual a 74 cm, o perímetro do 12º quadrilátero é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A73,6 cm.
  2. B73,3 cm.
  3. C73,5 cm.
  4. D73,2 cm.
  5. E73,8 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 73,8 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 73,8 cm — alternativa E.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a um valor fixo, chamado razão. Se a razão é positiva, a sequência cresce; se é negativa, decresce. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r, que permite calcular qualquer termo conhecendo o primeiro e a razão.

O perímetro de um retângulo é P = 2·(altura + base). Como cada quadrilátero tem todos os ângulos de 90°, todos são retângulos (ou quadrados). As alturas formam uma PA decrescente (razão negativa) e as bases uma PA crescente (razão positiva). A condição de o 21º ser quadrado iguala altura e base nesse termo, ligando as duas razões.

Esta questão pede para montar um sistema com duas incógnitas (as razões das duas PAs) usando duas condições: o quadrado no 21º termo e o perímetro do 11º termo. Depois de achar as razões, calcula-se o 12º termo.

O que a questão dá

  • primeiro quadrilátero: altura = 24 cm, base = 14 cm

  • último quadrilátero (21º) é um quadrado

  • perímetro do 11º quadrilátero = 74 cm

  • alturas formam PA decrescente, bases formam PA crescente

O que queremos: o perímetro do 12º quadrilátero

Passo 1 — Escrever os termos gerais das duas PAs

Precisamos de uma expressão para a altura e a base de qualquer termo, pois vamos usar o 11º e o 21º. O termo geral de uma PA é a_1 + (n-1)·r, então aplicamos isso para altura e base.

Por que esta fórmula: É a definição de termo geral de PA: cada termo é o primeiro mais (n-1) vezes a razão.

hn=24+(n−1)⋅rh;bn=14+(n−1)⋅rbh_n = 24 + (n-1) \cdot r_h \quad ; \quad b_n = 14 + (n-1) \cdot r_b

De onde vem cada valor: 2424 = enunciado: altura do primeiro quadrilátero · 1414 = enunciado: base do primeiro quadrilátero · rhr_h = definição: razão da PA das alturas (negativa) · rbr_b = definição: razão da PA das bases (positiva)

NÃO CAIA NESSA!

Trocar os sinais das razões: altura decrescente tem r_h < 0, base crescente tem r_b > 0.

Passo 2 — Usar o quadrado no 21º termo

O 21º quadrilátero é um quadrado, então sua altura e base são iguais. Isso nos dá uma equação ligando as duas razões.

Por que esta fórmula: Igualamos h_21 e b_21 usando os termos gerais do passo 1.

24+20⋅rh=14+20⋅rb24 + 20 \cdot r_h = 14 + 20 \cdot r_b

De onde vem cada valor: 2424 = passo 1: altura inicial · 2020 = constante: 21 - 1 = 20 · rhr_h = passo 1 · 1414 = passo 1: base inicial · rbr_b = passo 1

24+20⋅rh=14+20⋅rb24 + 20 \cdot r_h = 14 + 20 \cdot r_b
rb−rh=0,5r_b - r_h = \boxed{0{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o 21º termo usa n-1 = 20, não 21.

Passo 3 — Usar o perímetro do 11º termo

O perímetro do 11º quadrilátero é dado, e isso fornece outra equação com as razões. O perímetro é 2·(altura + base), então a soma altura+base é 37.

Por que esta fórmula: Perímetro de retângulo: P = 2·(h + b). Dividimos por 2 para obter a soma.

h11+b11=37h_{11} + b_{11} = 37

De onde vem cada valor: 3737 = constante: 74 ÷ 2 = 37

74=2⋅(h11+b11)74 = 2 \cdot (h_{11} + b_{11})
h11+b11=37h_{11} + b_{11} = \boxed{37}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar 74 como soma.

Passo 4 — Montar a equação com os termos do 11º

Substituímos h_11 e b_11 pelos termos gerais do passo 1, usando n=11, para obter uma equação com as razões.

Por que esta fórmula: Usamos o termo geral com n=11: h_11 = 24 + 10·r_h, b_11 = 14 + 10·r_b.

(24+10⋅rh)+(14+10⋅rb)=37(24 + 10 \cdot r_h) + (14 + 10 \cdot r_b) = 37

De onde vem cada valor: 2424 = passo 1 · 1010 = constante: 11 - 1 = 10 · rhr_h = passo 1 · 1414 = passo 1 · rbr_b = passo 1 · 3737 = passo 3

24+10⋅rh+14+10⋅rb=3724 + 10 \cdot r_h + 14 + 10 \cdot r_b = 37
rh+rb=−0,1r_h + r_b = \boxed{-0{,}1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 24+14=38 e depois subtrair 37, resultando em -1, mas esquecer de dividir por 10.

Passo 5 — Resolver o sistema para as razões

Temos duas equações com duas incógnitas: r_b - r_h = 0,5 e r_h + r_b = -0,1. Somando e subtraindo, achamos cada razão.

Por que esta fórmula: É um sistema linear simples: somar as equações elimina r_h, subtrair elimina r_b.

{rb−rh=0,5rh+rb=−0,1\begin{cases} r_b - r_h = 0{,}5 \\ r_h + r_b = -0{,}1 \end{cases}

De onde vem cada valor: 0,50{,}5 = passo 2 · −0,1-0{,}1 = passo 4

2⋅rb=0,4⇒rb=0,2;2⋅rh=−0,6⇒rh=−0,32 \cdot r_b = 0{,}4 \Rightarrow r_b = 0{,}2 \quad ; \quad 2 \cdot r_h = -0{,}6 \Rightarrow r_h = -0{,}3

r_h = -0,3 cm e r_b = 0,2 cm

NÃO CAIA NESSA!

Inverter os sinais ou confundir qual razão é positiva/negativa.

Passo 6 — Calcular altura e base do 12º termo

Com as razões, calculamos as dimensões do 12º quadrilátero usando o termo geral com n=12.

Por que esta fórmula: Termo geral: h_12 = 24 + 11·r_h, b_12 = 14 + 11·r_b.

h12=24+11⋅rh;b12=14+11⋅rbh_{12} = 24 + 11 \cdot r_h \quad ; \quad b_{12} = 14 + 11 \cdot r_b

De onde vem cada valor: 2424 = passo 1 · 1111 = constante: 12 - 1 = 11 · rhr_h = passo 5: -0,3 · 1414 = passo 1 · rbr_b = passo 5: 0,2

h12=24+11⋅(−0,3)=20,7;b12=14+11⋅0,2=16,2h_{12} = 24 + 11 \cdot (-0{,}3) = 20{,}7 \quad ; \quad b_{12} = 14 + 11 \cdot 0{,}2 = 16{,}2

h_12 = 20,7 cm e b_12 = 16,2 cm

NÃO CAIA NESSA!

Usar n=12 em vez de n-1=11 no termo geral.

Passo 7 — Calcular o perímetro do 12º termo

Com as dimensões, o perímetro é direto: soma das dimensões vezes 2.

Por que esta fórmula: Perímetro do retângulo: P = 2·(h + b).

P12=2⋅(h12+b12)P_{12} = 2 \cdot (h_{12} + b_{12})

De onde vem cada valor: h12h_{12} = passo 6: 20,7 cm · b12b_{12} = passo 6: 16,2 cm

P12=2⋅(20,7+16,2)=2⋅36,9=73,8 cmP_{12} = 2 \cdot (20{,}7 + 16{,}2) = 2 \cdot 36{,}9 = \boxed{73{,}8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 e responder 36,9 cm.

Resposta: 73,8 cm — alternativa E

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